Matemática discreta Ejemplos

$e^{2 x}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = e^{2 y}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $e^{2 y} = x$ .

$e^{2 y} = x$

Paso 2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (x)$

Paso 2.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1

Expande $\ln (e^{2 y})$ ; para ello, mueve $2 y$ fuera del logaritmo.

$2 y \ln (e) = \ln (x)$

Paso 2.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 y = \ln (x)$

Paso 2.4

Divide cada término en $2 y = \ln (x)$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.4.1

Divide cada término en $2 y = \ln (x)$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2}$

Paso 2.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$ es la inversa de $f (x) = e^{2 x}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (e^{2 x})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = \frac{\ln (e^{2 x})}{2}$

Paso 4.2.3

Expande $\ln (e^{2 x})$ ; para ello, mueve $2 x$ fuera del logaritmo.

$f^{- 1} (e^{2 x}) = \frac{2 x \ln (e)}{2}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (e^{2 x}) = \frac{2 x \ln (e)}{2}$

Paso 4.2.4.2

Divide $x \ln (e)$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = x \ln (e)$

Paso 4.2.5

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = x \cdot 1$

Paso 4.2.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{\ln (x)}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2})}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2})}$

Paso 4.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = e^{\ln (x)}$

Paso 4.3.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$ es la inversa de $f (x) = e^{2 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$